天書の数学

今回のテーマは、群における(直積と)半直積です。

直積と半直積の定義

定義1　（群における（外部）直積）

$G$ , $H$ を群とするとき、集合としての直積（デカルト積） $G\times H :=\{ (g, h) \mid g\in G, h\in H\}$ に対して

$(g_1,\, h_1)\cdot(g_2,\, h_2):=(g_1g_2,\, h_1h_2)$

として演算を定めるとこれは群になる。これは群 $G$ , $H$ の(外部)直積(direct product)と呼ばれる。

例としては実ベクトル空間 $\mathbb{R}^n$ に定まる群構造は、加法群 $\mathbb{R}$ を $n$ 回直積したものとして定められる。

次に内部直積の性質を調べるために直積群 $G\times H$ の部分集合として次の2つを考える。

$G':=\{ (g, 1_H) \mid g\in G\}\\ H':=\{ (1_G, h) \mid h\in H\}$

これらは $G'=G\times\{1_H\}$ , $H'=\{1_G\}\times H$ ともかける。ゆえに直積群 $G\times H$ の部分群である。かつ、これらは元の $G$ や $H$ と同型な群であり、さらに直積群 $G\times H$ の正規部分群でもある。実際 $(g, h)\in G\times H$ , $(g_0, 1_H)\in G'$ に対して

$(g, h)(g_0, 1_H){(g, h)}^{-1}=(gg_0g^{-1}, 1_H)\in G'$

となるからである。

定義2　（群における（内部）直積）

群 $P$ の部分群 $G, H$ が次の3性質を満たすとき、 $P$ は $G$ と $H$ の内部直積であるという。
(1) $G\cap H=\{1_P\}$
(2) すべての $P$ の元は $G$ の元と $H$ の元の積として(一意的に)書ける
(3) $gh=hg$ ( $g\in G, h\in H$ ) (これは $G, H$ が共に正規部分群であることと同値)

なお(3)で書いた2条件の同値性は
1つめ $\Rightarrow$ 2つめ: $gH=Hg$ や $Gh=hG$ が任意の $g, h$ に対して成立するので明らか
2つめ $\Rightarrow$ 1つめ: これは条件(1)を使うことで次のように従う;
仮定より $h':=g^{-1}hg\in H$ 、また $g':=h^{-1}gh\in G$ なので

${g'}^{-1}g=h^{-1}g^{-1}hg=h^{-1}h'$

が従う。左辺は $G$ に、右辺は $H$ に含まれるのでこの式の値は $1_P$ であり、 $gh=hg$ 。
これと同じ流れの証明で(2)の一意性は(1)から従うことも言える。 ( $gh=g'h'$ とおき $g{g'}^{-1}=h^{-1}h'$ とする)
(2)で一意性を除いた条件は、 $P=GH$ ともかける。

ゆえに内部直積の条件は 「2つの正規部分群 $G, H$ が、共通部分が自明で、 $P=GH$ 」 と簡略化できる。

外部直積から作られる $G'$ と $H'$ は内部直積の条件を満たすことはほぼ上で言ったが、実はこれと逆の主張も成立する。

定理： $P$ が $G$ と $H$ の内部直積であるとき、 $P$ は直積群 $G\times H$ と同型。
証明：写像 $f$ を $f: G\times H \rightarrow P,\quad f(g, h):=gh$ で定める。
$f$ が群準同型であることは、 $G$ の元と $H$ の元の可換性(条件(3))から従う。すなわち

$\begin{align*} f( (g_1, h_1)(g_2, h_2) )=f( (g_1g_2, h_1h_2) )&=g_1g_2h_1h_2 \\&=g_1h_1g_2h_2=f( (g_1, h_1) )f( (g_2, h_2) ) \end{align*}$

全射性は条件(2)の積表示の存在性から、単射性は条件(2)の表示の一意性から従う。(証明終)

3つ以上並びに無限個の群の直積については、今記事では省くことにする。

さて、内部直積や外部直積から条件を少し緩めた積として、内部半直積や外部半直積を定める。内部半直積の定義はわかりやすい。

定義3　（群における内部半直積）

群 $G$ と、その部分群 $H$ 、正規部分群 $N$ に対して、 $G$ が $N$ と $H$ の内部半直積(semidirect product)であるとは、その共通部分が自明で、 $G=NH$ となることである。このとき、記号として $G=N\rtimes H$ または $G=H\ltimes N$ と書く。

ただ眺めると、前出の内部直積との違いがわかりにくいが赤字で強調したとおり、片方の部分群に正規性を課さないのが内部半直積である。
すなわち、直積は半直積の特別な例である。

定理： 群 $G$ と、その部分群 $H$ 、正規部分群 $N$ に対して、次の各条件は同値である。
(1) $G$ は $N$ と $H$ の内部半直積である
(2) 任意の $g\in G$ は $g=nh$ ( $n\in N, h\in H$ )の形で一意的に書ける
(3) 任意の $g\in G$ は $g=hn$ ( $n\in N, h\in H$ )の形で一意的に書ける
(4) 写像 $H\hookrightarrow G\twoheadrightarrow G/N$ (埋め込みと射影の合成)により、 $H\cong G/N$
(5) 短完全列 $\{1_G\}\rightarrow N\rightarrow G\rightarrow H\rightarrow \{1_G\}$ は分裂する。
(5)に関しては準備事項がたくさんあるので、今記事では扱わず別記事で書く予定である。

証明：
(1) $\Rightarrow$ (2)
表示できることは $G=NH$ から直ちに従う。一意性は $N\cap H=\{1_G\}$ であることから従う; これは直積のときと同じ証明である。
(2) $\Rightarrow$ (1)
もし $N$ と $H$ の交わりが自明でない元 $\alpha\in G$ を有すると仮定すると $\alpha=\alpha\cdot 1_G=1_G\cdot\alpha$ と二通りに表示されるので矛盾。 $G=NH$ は仮定から明らか。
(2) $\Leftrightarrow$ (3)
存在性は部分群 $N$ の正規性より従う。すなわち、任意の $H$ の元( $G$ の元でよいが) $h$ に対して $hN=Nh$ であるので、例えば $nh$ という元は $hN$ に入っているのでもう片方の表示 $hn'$ がある。一意性は(1)を経由して $N\cap H=\{1_G\}$ を使う。
(1) $\Rightarrow$ (4)
この写像が群準同型であることは作り方より明らかなので、全射性と単射性を調べる。
全射性: 任意の右剰余類 $gN$ ( $g\in G$ )に対して、 $gN=hN$ となる $h\in H$ が存在すればよい。しかしここで(3)より任意の $G$ の元は $g=hn$ と書けるので $gN=hnN=hN$ が従う。
単射性: $h_1, h_2\in H$ に対して $h_1N=h_2N$ とすると、 $h_1{h_2}^{-1}\in N$ である。左辺は $H$ にも属しているので、 $N\cap H=\{1_G\}$ より $h_1=h_2$ 。
(4) $\Rightarrow$ (3)
まずこの写像の全射性から、任意の $g\in G$ に対してある $h\in H$ が存在して $gN=hN$ 。すなわち $g\in hN$ であり(右剰余類の性質より)、 $g=hn$ という表示が存在することがわかる。
次に $hn=h'n'$ と2通りに表示できたとすると、これらは右剰余類 $hN, h'N$ に属する。すなわち $hN\cap h'N\neq \emptyset$ であり、右剰余類の性質より $hN=h'N$ である。ここで(4)の写像の単射性から $h=h'$ が従い、これらの逆元をかけて $n=n'$ も得る。(証明終)

最後に、外部半直積を導入する。これがちょっとややこしい。

定義4　（群における外部半直積）

2つの群 $H, N$ 及び群準同型 $\varphi: H \rightarrow \mathrm{Aut}(N); h\mapsto {\varphi}_h$ に対して次のように構成した群を $N{\rtimes}_{\varphi}H$ と書き、 $N$ と $H$ の $\varphi$ による外部半直積という。
・集合としてはデカルト積 $N\times H$ (直積群と同じ)
・群の演算は $(n_1, h_1)\cdot(n_2, h_2):=(n_1{\varphi}_{h_1}(n_2), h_1h_2)$
単位元は $(1_N, 1_H)$ であり、 $(n, h)^{-1}=({\varphi}_{h^{-1}}(n^{-1}), h^{-1})$ である。(証明略)

次に内部半直積と外部半直積の対応を述べる。直積同様に対応がつく。
まず外部半直積 $G:=N{\rtimes}_{\varphi}H$ が与えられたとき、

$N'=\{(n, 1_H) \mid n\in N\}, \quad H'=\{(1_N, h) \mid h\in H\}$

と定める。これらが内部半直積の条件を満たすことを言えばよい。
・ $H'$ が $G$ の部分群であること
これは $(1_N, h_1)(1_N, h_2)^{-1}=(1_N, h_1{h_2}^{-1})\in H'$ であるので従う。
・ $N'$ が $G$ の正規部分群であること
これは $(n, h)(n_0, 1_H){(n, h)}^{-1}=(n\varphi_h(n_0)n^{-1}, 1_H)\in N'$ であるので従う。
・ $H'$ と $N'$ の交わりが自明なのは作り方から明らか
・ $G=N'H'$ であること
これは、 $(n, h)=(n, 1_H)(1_N, h)$ より従う。

なおこれらの群 $N', H'$ はもとの $N, H$ と同型な群である。

次に内部半直積 $G$ を与えたときに、それが外部半直積と同型であることを述べる。
部分群 $H$ 、正規部分群 $N$ に対して群準同型 $\varphi: H \rightarrow \text{Aut}(N)$ を ${\varphi}_h(n)=hnh^{-1}$ で定める。これは明らかに群準同型である。
このとき $\lambda: G\rightarrow N{\rtimes}_{\varphi}H$ を $\lambda(nh)=(n, h)$ で定める。
群準同型であることは $(n_1h_1)(n_2h_2)=n_1(h_1n_2{h_1}^{-1})h_1h_2=n_1{\varphi}_{h_1}(n_2) h_1h_2$ から従う。
全射性は作り方と内部半直積の積表示の一意性から従う。単射性は構成から自明。

以上により、内部半直積と外部半直積の間にも対応があり、同じ概念であることがわかった。なお外部半直積において $\varphi$ を自明な準同型とすることで、外部直積と一致する。

群の半直積の例

例1 二面体群 $D_{2n}$

二面体群とは、 $\frac{360}{n}$ 度回転と鏡映から生成される位数 $2n$ の群のことである。
これは巡回群 $C_n$ と位数2の群 $C_2$ の半直積となっている。

例2 直交群 $O(n)$

これは直交群の元のうち行列式が1の行列のなす部分群 $\mathrm{SO}(n)$ (特殊直交群)と位数2の群 $C_2$ の半直積である。

例3
空間 $\mathbb{R}^n$ の併進全体の集合を $T$ とする。すなわち $T:=\{L_a \mid a\in \mathbb{R}^n\}$ である；ただし $L_a(x)=x+a$ 。
また $\mathrm{SO}(n)$ として直交群；この空間の回転群の集合を取る。
$(a, R)$ として、空間を $R$ 回転させてから $L_a$ 平行移動させることにすると $(a, R)(x)=Rx+a$ となる。すなわち

$(a_1, R_1)(a_2, R_2)(x)=(a_1, R_1)(R_2x+a_2)=R_1R_2x+R_1a_2+a_1$

となり $(a_1, R_1)(a_2, R_2)=(a_1+R_1a_2,\, R_1R_2)$ である。
ここで $\lambda$ を $\lambda_R(L_a)=L_{Ra}$ とするとこれは $\mathrm{SO}(n)$ から $\mathrm{Aut}(T)$ への群準同型であり $(a, R)$ 全体の集合からなる群は、 $T{\rtimes}_{\lambda}\mathrm{SO}(n)$ と同型な群である。